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等比级数在幂级数与概率计算中的应用

2018-08-25 21:28:34

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等比级数,又称等比数列的前n项和,几何级数,多使用于台湾地区。等比级数公式:S=a+aq+aq^2++aq^(n-1)=a(1-q^n)/(1-q)

摘要:等比级数是高等数学的教学重点之一,在函数的幂级数求和函数以及几率的某些计算中起侧重要的作用。介绍了利用等比级数求幂级数和函数和几率计算的常见情形世合理想大地
,并给出了具体的例子。

关键词:等比级数;概率计算;幂级数

等比级数是收敛级数中最著名的一个级数。阿贝尔曾指出除了几何级数以外,数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数。等比级数的增长速度令人震惊,有一个关于古波斯国王的传说,他对一种新近发明的象棋游戏留下深刻印象,以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠。当这个发明人――一个贫困但却十分精通数学的农民――被国王召见时,他只要求在棋盘的第一个方格里放一粒麦粒,第二个方格里放两粒麦粒,第三个方格里放四里麦粒,如此继续下去,直到全部棋盘都被覆盖上为止。国王被这种朴素的要求所震惊,他立即命令拿来一袋小麦混凝土搅拌站
,他的仆人们开始耐心地在棋盘上放置麦粒,令他们十分吃惊的是,他们很快就发现袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项任务,由于级数1,2,22,23,24,的第64项是一个十分大的1个数:263=.如果我们想法把如此多的麦粒――假设每个麦粒直径仅1毫米――放在一条在直线上,这条线将长约两光年。

等比级数虽然是一个重要级数,但笔者多年的教学发现,学生在直接运用级数时还可以,但应用到幂级数就不能把变量x看做常数,看不出二者关系。同时,在概率中涉及到很多计算,这其中有很多是跟等比级数有关,学生缺少这类把知识融会贯通的能力;而在以往的教学中,有些教师对这个重视不够,而有的老师只是单独专注于自己的学科(微积分或几率)。基于这种情况下,笔者通过典型例题,论述它们的关系,使学生到达活学活用。

等比级数又称为几何级数,

SymboleB@ n=0aqn=a+aq+aq2++aqn+(a0)。

若q1,有limn

SymboleB@ sn不存在。综上所述,当q1时,等比级数收敛,且a+aq+aq2++aqn+=a1-q。

一、等比级数线性运算性质的直接应用

例1:把一个球从a米高低落到地平面上,球每次落下距离h碰到地平面再跳起距离rh,其中r是小于1的正数,求这个球上下的总距离。

解:总距离是 s=a+2ar+2ar2+2ar3+=a+2ar1-r=a(1+r)1-r。

若a=6,r=2/3,则总距离是s=a(1+r)1-r=6(1+2/3)/3=30(米)。

例2:把循环小数5.232323表示成两个整数之比。

解:5.232323=5+23100+231002+231003+

=5+23100(1+1100+11002+)

=5+.99=51899

例3:求级数

SymboleB@ )。

在收敛域(-1,1)内,有:

1+x+x2+x3++xn+=11-x

例5:求级数11.3+12.32+13.33+14.34++1n.33+的和。

解:所求级数的和是幂级数

SymboleB@ n=1xn-1=11-xx(-1,1),两边积分,得:

x0s(x)dx=x011-xdx=-ln(1-x),即s(x)-s(0)=-ln(1-x)。

又因s(0)=0恒大翡翠龙庭
,所以s(x)=-ln(1-x),故所求原级数的和为:

s(13)=-ln()=ln32

注:1+x+x2+x3++xn+=11-x,x(-1,1),和s(x)=

SymboleB@ i=1P{X=i}=p+p2+p3+=1,而由等比级数性质知上式为p1-p=1,解得p=12。

例7:已知某自动生产线一旦出现不合格品就立即进行调剂,经过调整后生产出的产品为不合格品的几率是0.1,如果用X表示两次调剂之间生产出的产品数,则求EX。

解:X是离散型随机变量,可能的取值为1,2,3,

P{X=k}=P{调剂后生产出的产品前k-1格为合格品,第k个为不合格品}

=P{A1Ak-1Ak},

其中Ai=第i个生产出的产品为合格品,Ai相互独立。

P(Ai)=0.9,P{X=k}=0.9k-10.1

EX=SymboleB@ k=1xk)=0.1(x1-x)=0.1(1-x)2

把0.9回代,则EX=0.1(.9)2=10。

综上所述,学生在运用等比级数时要能透过现象看本质,利用好这个级数,对我们求幂函数的和以及好多概率计算起到非常重要的作用。

参考文献:

[1]吴赣昌.微积分(经济类)[M].北京:中国人民大学出版社,2012:265266.

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